El hotel de Hilbert

Si quisiéramos construir el hotel con más habitaciones del mundo, tendríamos que superar las 10.000 del Abraj Kudai en Mecca, Arabia Saudí,  aunque su apertura estaba prevista en 2017, todavía está en construcción. Entonces, si nuestro hotel tuviera 10.001, tendríamos el récord del hotel con más habitaciones, siempre nos lo podrían arrebatar construyendo tan solo una habitación más. Por eso vamos a construir un hotel con infinitas habitaciones.

El matemático alemán David Hilbert (1862-1943) propuso una idea para explicar el concepto de infinito, ya que muchas personas tienen la convicción errónea de que infinito es un número muy grande, quizás nos ayude en un primer momento a comprender que es el infinito pero solo nos estamos quedando con un resquicio de lo rico que es el concepto.

La idea de Hilbert fue construir un hotel con infinitas habitaciones, el lema del hotel será, “Donde siempre hay una habitación para usted”.

Un día cualquiera llega un nuevo huésped, pero los trabajadores se dan cuenta de que el hotel está completo, entre todos piensan una solución, esta será pedirle a cada huésped que se mueva a la habitación siguiente, esto es, el huésped de la habitación 1 a la habitación 2, el de la 47 a la 48, y si todos lo cumplen, los tendremos hospedados y la habitación número uno libre, para la persona que vino, también pensaron ya de paso que les valdría para cualquier número de personas que vinieran porque solo tendría que pedir a cada huésped que se desplazara tantas habitaciones como nuevos clientes vinieran al hotel.

En ese mismo momento llegó una persona diciendo que venía con infinitas personas y que se querían hospedar, ¿Se os ocurre la forma para que todos tengan habitación? Los trabajadores dieron con la solución, pensaron en pedirle a todos los huéspedes que se mudaran a la habitación resultante de multiplicar el número de su habitación por dos, es decir, el de la 1 a la 2, el de la 7 a la 14 o el de la 1703 a la 3406, de este modo quedarían todas las habitaciones impares disponibles y podrían hospedar a los infinitos clientes.

Parece que no podemos complicar más la vida a los trabajadores, pero ¿Y si llegaran infinitos representantes y cada uno de ellos acompañado de infinitas personas? La solución es más compleja. En primer lugar pedirán a los huéspedes que vuelvan a dejar las habitaciones impares libres, ahora tendrán que colocar a los nuevos clientes, asignaremos un número primo distinto de dos a cada uno de los representantes que ha venido pidiendo habitación y asignarán un número a cada uno de las personas que les acompañan, estos tendrán que elevar el número de su representante al número que este les ha asignado y este será el número de habitación en la que se hospedarán, no podrán coincidir dos de ellos pues están multiplicando un número primo por sí mismo. Incluso han quedado habitaciones libres, como la habitación 15, 21, 33 ó 35, de hecho infinitas vacías.

Después de todos los problemas que les han surgido a los empleados hemos podido ver por ejemplo que hay infinitos números, que los pares y los impares son infinitos, que el producto de dos infinitos sigue siendo infinito, pero sobre todo que un hotel infinito da muchos más problemas que uno normal.

Por cierto, solo nos hemos fijado en el infinito de los números naturales, pero existe un infinito aún más grande, aunque eso ya lo veremos en otra ocasión.

Felices estancias.

 

Autor: David de las Heras